Equilibrium measures on trees and square tilings

Nella tesi vengono trattati alcuni argomenti di teoria del potenziale, in particolare le nozioni di capacità di un insieme, funzione di equilibrio e misura di equilibrio. Sono presentate definizioni e principali risultati di teoria del potenziale assiomatica. Tali risultati vengono poi tradotti nel contesto discreto degli alberi, definendo il bordo di un albero come spazio metrico e le capacità dei suoi sottoinsiemi: ad esse sono associate le relative funzioni di equilibrio sui lati dell'albero, che a loro volta corrispondono a misure d'equilibrio sul bordo. Uno dei risultati principali della tesi è la caratterizzazione delle misure di equilibrio sugli alberi in termini di una equazione discreta non lineare. Ad una misura d’equilibrio si può associare uno square tiling, cioè la suddivisione di un rettangolo in piastrelle quadrate non sovrapposte. Sono presentati alcuni esempi di alberi, misure d’equilibrio e tilings associati. Facendo un parallelo con un teorema di I. Benjamini e O. Schramm che associa ad un grafo più generale il tiling di un cilindro, viene data un'interpretazione delle misure d’equilibrio e delle capacità su alberi in termini probabilistici considerando passeggiate aleatorie. Infine viene analizzato un risultato di O. Schramm sulla costruzione di square tilings finiti con un'assegnata struttura combinatoria.