Equazioni matriciali nella discretizzazione del problema di Poisson

Questo elaborato fornisce una teoria esaustiva che mostra l’esistenza (e l'unicità) di una soluzione generalizzata del Problema di Dirichlet per l’operatore di Laplace con il metodo di Perron, si studiano i Potenziali Newtoniani e si mostra come questi ultimi, insieme con i precedenti risultati, consentano di risolvere il Problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson, su domini con frontiera Lipschitziana. Inoltre si risolve numericamente il problema di Poisson definito su domini semplicemente connessi. In particolare si studia l’equazione di Sylvester $T_{1}U + UT_{2} = F in cui $T_{1}, T_{2} = T_[1}^{T} sono le matrici dei coefficienti, F è il termine noto e U è la matrice incognita, da determinare. Tale equazione matriciale lineare è generata dalla discretizzazione, mediante le differenze finite, del problema di Poisson definito sul dominio quadrato unitario. Successivamente si è studiato il problema di Poisson definito su una regione fisica, cioè su un dominio che si assume semplicemente connesso. Per eliminare le complicazioni dovute alla forma della regione fisica, è utile trasformare questi domini in domini più semplici, generalmente rettangolari, che dipendono dai parametri presenti nella regione fisica. Mediante una traslazione dei parametri, è possibile trasformare qualsiasi dominio rettangolare nello spazio logico $[0,1] \times� [0,1]$. Di conseguenza, l’equazione di Poisson verrà trasformata in equazioni differenziali che daranno origine ad equazioni matriciali di Sylvester nella forma $AX + XB = C$, dove A e B tengono conto anche di eventuali termini del prim’ordine dell’equazione differenziale trasformata. Infine si è analizzato l’algoritmo di Bartels e Stewart che risolve numericamente un’equazione di Sylvester di piccole e medie dimensioni.