Tensore energia-impulso di un buco nero di Schwarzschild

Il presente elaborato si occupa dello studio del tensore energia-impulso di un buco nero di Schwarzschild, ossia di un buco nero a simmetria sferica, non rotante e neutro. Solitamente, nei libri di testo (si veda ad esempio [4, 12]), la metrica di Schwarzschild viene presentata come una soluzione di vuoto dell'equazione di Einstein, la quale si ottiene imponendo l'annullamento del tensore energia-impulso all'esterno della sorgente gravitazionale. Inoltre, essendo il risultato indipendente dalle dimensioni della sorgente, quest'ultima viene assunta concentrata in una sfera di coordinata d'area nulla, la quale viene solitamente esclusa dallo spazio-tempo, poiché individua una singolarità reale della curvatura [4]. Procedendo in tal modo, tuttavia, non risulta del tutto chiara la ragione della curvatura della varietà di Schwarzschild. Lo scopo della tesi è quello di mostrare che, nel caso di una sorgente “puntiforme”, non è possibile fornire un'espressione ben definita per il tensore energia-impulso, inteso come una distribuzione tensoriale (si veda [13]). Nel capitolo 1 vengono brevemente richiamate alcune nozioni fondamentali di Geometria Differenziale [5, 11] e di Teoria delle Distribuzioni [13]. Successivamente, nel capitolo 2, utilizzando le tecniche distribuzionali presentate nel capitolo 1, si dimostra che le componenti miste del tensore energia-impulso di un buco nero di Schwarzschild costituiscono le componenti distribuzionali di una distribuzione tensoriale ben definita: una delta di Dirac (con degli opportuni coefficienti moltiplicativi per motivi dimensionali) concentrata nella regione di coordinata d'area nulla [1]. Tuttavia, per una sorgente “puntiforme”, non è possibile definire il tensore energia-impulso (in senso distribuzionale) con entrambi gli indici in basso (o in alto). Di conseguenza, è necessario concludere che il tensore energia-impulso di una sorgente “puntiforme” non risulta ben definito, nel senso di distribuzione tensoriale [7].