Serie di Fourier reali e applicazione al problema del calore

Gli oggetti di studio di questa tesi sono le serie di Fourier reali e la loro applicazione nella risoluzione del problema del calore. Il primo capitolo tratta dei polinomi trigonometrici e delle loro proprietà, per poi poter definire la nozione di serie di Fourier reale di una funzione sommabile di periodo 2pigreco. In relazione alle proprietà della funzione (f holderiana, a variazione totale limitata, assolutamente continua) viene analizzata la sviluppabilità in serie di Fourier sulla base di formule di rappresentazione integrale, e sono dimostrati i relativi teoremi sulla convergenza puntuale, uniforme e in norma L2. Nel secondo capitolo viene presentato il problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore su una sbarra omogenea e la sua risoluzione nei casi in cui il dato iniziale di temperatura sia di classe C1 o solo continuo. Nel primo caso si segue il metodo di separazione delle variabili per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno; risulterà cruciale la sviluppabilità in serie di Fourier di una funzione C1 e la convergenza di tale serie. Nel secondo caso viene formulata una soluzione in termini del nucleo di Green per l’equazione del calore. L’esistenza e l’unicità di tale soluzione sono assicurate dai rispettivi teoremi enunciati e dimostrati nel caso generale in dimensione n e poi ricondotti al caso particolare uno-dimensionale.