Spazi di Sobolev e funzioni BV in gruppi di Carnot

In questa tesi presentiamo i primi risultati sugli spazi di Sobolev e BV in gruppi di Carnot, che estendono alcuni importanti risultati di analisi funzionale visti in ambito euclideo. Un gruppo di Carnot è un gruppo di Lie nilpotente, connesso e semplicemente connesso, la cui algebra di Lie ammette una stratificazione di sottospazi vettoriali compatibile con la parentesi di Lie del gruppo, tale che il sottospazio del primo strato generi tutta l'algebra. Il punto cruciale nello studio dei gruppi di Carnot sta nel fatto che essi presentano delle analogie fortissime con gli spazi euclidei in cui siamo normalmente abituati a lavorare (infatti gli spazi euclidei sono dei particolari gruppi di Carnot). Sfruttando dunque queste analogie, riprenderemo una parte della teoria sugli spazi di Sobolev e BV già vista in ambito euclideo, estendendola nel caso gruppi di Carnot. Per quanto riguarda gli spazi di Sobolev, arriveremo a dimostrare importanti risultati come il Teorema di Meyers-Serrin ed il Teorema di immersione compatta, per il quale sarà necessario riscrivere le disuguaglianze di tipo Sobolev-Poincaré. Per quanto riguarda invece gli spazi BV, lo scopo sarà quello di arrivare al Teorema di Anzellotti-Giaquinta, per poi concludere con la disuguaglianza isoperimetrica.