Il problema agli autovalori quadratico

Il problema quadratico agli autovalori è una classe importante dei problemi agli autovalori non lineari. La risoluzione di tale problema è richiesta in vari ambiti a livello ingegneristico, dall'analisi dinamica dei sistemi meccanici, all'analisi di stabilità di sistemi microelettronici. Nel primo capitolo di questo elaborato viene definito il polinomio matriciale, l'oggetto matematico che sta alla base del problema, vengono dati alcuni risultati riguardanti possibili fattorizzazioni e viene definito il processo di linearizzazione che consente di trasformare il problema quadratico agli autovalori non lineare in un problema generalizzato agli autovalori lineare con lo stesso spettro. Nel secondo capitolo si pone l'attenzione sulle varie applicazioni del problema: a partire dalle equazioni differenziali del secondo ordine che descrivono i sistemi ingegneristici vengono trovate le soluzioni in termini degli autovalori del sistema, con l'aiuto di alcuni strumenti matematici come il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e la trasformata di Laplace. Nel terzo capitolo viene illustrato l'algoritmo QZ, uno dei possibili metodi per la risoluzione del problema quadratico agli autovalori e ne viene data una descrizione dettagliata e una possibile implementazione. Infine viene esposto un esempio di problema agli autovalori quadratico di un sistema giroscopico e vengono messe a confronto le diverse funzioni Matlab che risolvono il problema.