Lemma di Schwarz e la sua interpretazione geometrica

Il tema centrale di questa tesi, suddivisa in tre capitoli, è il Lemma di Schwarz e la sua applicazione nella geometria iperbolica. Il lemma di Schwarz, che prende il nome da Hermann Amandus Shchwarz, descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Nel primo capitolo enuncio il Lemma di Schwarz e la sua versione infinitesimale. Descrivo le mappe conformi del dominio per poi applicare il lemma di Pick che è una forma particolare del lemma di Schwarz.Nel secondo capitolo introduco brevemente la geometria euclidea con i cinque postulati di Euclide, per poi passare a descrivere la geometria iperbolica. Introduco la definizione di forma fondamentale (o forma metrica) di una superficie. Nel terzo capitolo affronto la geometria iperbolica nel disco. Quindi data una forma metrica ho definito distanza iperbolica e lunghezza iperbolica per poi arrivare a dimostrare tramite una reinterpretazione del lemma di Schwarz l'invarianza delle mappe olomorfe.