Formule di quadratura gaussiane

Il calcolo di integrali riveste un ruolo fondamentale in matematica. Per certe funzioni f, utilizzando diversi metodi, è possibile calcolare l'integrale di f (che chiameremo I(f)), anche se spesso risulta difficile o impossibile determinare tale valore per via analitica. A volte, anche nel caso in cui si riuscisse a trovare una primitiva della f, l'espressione finale sarebbe così complessa rispetto alla funzione integranda da suggerire l'uso di approcci diversi. Un altro inconveniente è quello di trovarsi di fronte ad una funzione f definita solo per punti, oppure valutabile per ogni x_{i} mediante una routine, ed in questo caso non è affatto possibile procedere con un approccio analitico. È il caso ad esempio di funzioni che descrivono dati sperimentali. Pertanto, supponendo di conoscere o di poter valutare la funzione integranda f in punti x_{i} prefissati, oppure da noi scelti, esaminiamo la costruzione di formule dette di quadratura. I punti {x_{i}} vengono chiamati nodi, e in base alla scelta di questi ultimi si hanno diverse formule di quadratura che danno luogo a differenti condizioni di convergenza, rapidità di convergenza, stabilità e costo computazionale. Naturalmente, le formule di quadratura non si sostituiscono ai classici metodi analitici, anzi, sono proprio questi a dare dei suggerimenti per semplificare il problema e per scegliere la formula di quadratura più adatta. Le formule di quadratura che studierò in questa tesi sono principalmente quelle Gaussiane, che sono caratterizzate da proprietà di precisione migliori rispetto a formule elementari quali quelle di Newton-Cotes.