Salame Younis, Jarir
(2016)
Il fenomeno di Gibbs.
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270]
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Abstract
L'argomento di questa tesi è il fenomeno di Gibbs, un fenomeno che riguarda dei particolari polinomi trigonometrici, i polinomi di Fourier: questi ultimi sono molto utilizzati per approssimare funzioni periodiche in quanto tra tutti i polinomi trigonometrici sono quelli che minimizzano l'errore in norma quadratica. Il fenomeno di Gibbs si può descrivere in questo modo: siano date una funzione f periodica che presenta punti di discontinuità di prima specie e la sua approssimazione tramite serie di Fourier; quando si tronca questa serie si avranno delle forti oscillazioni in prossimità dei punti di discontinuità della funzione. Aumentando il numero di componenti della serie troncata le oscillazioni si avvicinano sempre di più ai relativi punti di discontinuità ma il picco rimane lo stesso. La tesi è stata suddivisa in tre capitoli. Nel primo si inizia definendo i polinomi di Fourier e mostrando alcune loro proprietà, dopodiché si studia la convergenza della serie di Fourier. Nel secondo si descrive il fenomeno di Gibbs: si comincia mostrando graficamente cosa accade in tre esempi distinti di funzioni periodiche in prossimità dei loro punti di discontinuità; si analizza quindi quantitativamente uno di questi esempi e si conclude fornendo un risultato generale. Infine nel terzo, dopo aver definito le somme di Fejér e un nuovo tipo di convergenza, quella secondo Cesaro si mostra come correggere questo fenomeno utilizzando le somme di Fejér al posto dei polinomi di Fourier.
Abstract
L'argomento di questa tesi è il fenomeno di Gibbs, un fenomeno che riguarda dei particolari polinomi trigonometrici, i polinomi di Fourier: questi ultimi sono molto utilizzati per approssimare funzioni periodiche in quanto tra tutti i polinomi trigonometrici sono quelli che minimizzano l'errore in norma quadratica. Il fenomeno di Gibbs si può descrivere in questo modo: siano date una funzione f periodica che presenta punti di discontinuità di prima specie e la sua approssimazione tramite serie di Fourier; quando si tronca questa serie si avranno delle forti oscillazioni in prossimità dei punti di discontinuità della funzione. Aumentando il numero di componenti della serie troncata le oscillazioni si avvicinano sempre di più ai relativi punti di discontinuità ma il picco rimane lo stesso. La tesi è stata suddivisa in tre capitoli. Nel primo si inizia definendo i polinomi di Fourier e mostrando alcune loro proprietà, dopodiché si studia la convergenza della serie di Fourier. Nel secondo si descrive il fenomeno di Gibbs: si comincia mostrando graficamente cosa accade in tre esempi distinti di funzioni periodiche in prossimità dei loro punti di discontinuità; si analizza quindi quantitativamente uno di questi esempi e si conclude fornendo un risultato generale. Infine nel terzo, dopo aver definito le somme di Fejér e un nuovo tipo di convergenza, quella secondo Cesaro si mostra come correggere questo fenomeno utilizzando le somme di Fejér al posto dei polinomi di Fourier.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Salame Younis, Jarir
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
fenomeno Gibbs Fourier Fejér convergenza serie Cesaro
Data di discussione della Tesi
16 Dicembre 2016
URI
Altri metadati
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Salame Younis, Jarir
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
fenomeno Gibbs Fourier Fejér convergenza serie Cesaro
Data di discussione della Tesi
16 Dicembre 2016
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