La dimensione di Hausdorff e tecniche di calcolo.

Cuscela, Giacomo (2019) La dimensione di Hausdorff e tecniche di calcolo. [Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in Matematica [L-DM270]
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Abstract

L'obiettivo della tesi è quello di mostrare la costruzione della dimensione di Hausdorff, per poi presentarne alcune tecniche di calcolo e stima.Nel primo capitolo enunciamo i principali risultati di teoria della misura, utili per definire la premisura di Hausdorff da cui si ricava la misura alpha-dimensionale di Hausdorff, che si verifica essere una misura esterna. Dopo aver dimostrato alcune proprietà fondamentali di questa potremo, quindi,definire la dimensione di Hausdorff e descriverne il comportamento in relazione a isometrie e a mappe lipschitziane. Il primo capitolo termina con il calcolo della dimensione di alcuni fra i più noti e semplici frattali. Il secondo capitolo si pone, invece, come obiettivo quello di esporre tecniche di calcolo della dimensione di Hausdorff. In prima istanza, viene definita la dimensione di box-counting, utilizzata per stimare dall'alto la dimensione di Hausdorff, mentre, a fine capitolo, si presenta il metodo del potenziale teorico, utile per la stima dal basso. Nell'ultimo capitolo si prendono in considerazione gli insiemi autosimilari, per i quali è possibile stimare la dimensione di Hausdorff sotto certe ipotesi. Il principale scopo, quindi,di questo elaborato è quello di presentare alcune tecniche di stima e di calcolo della dimensione di Hausdorff. Il filo conduttore della tesi è dato da alcuni esempi noti di frattali come l'insieme di Cantor e la curva di Koch, di cui viene calcolata la dimensione prima manualmente, per poi farlo con le tecniche mostrate.

Abstract
Tipologia del documento
Tesi di laurea (Laurea)
Autore della tesi
Cuscela, Giacomo
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
misure astratte misura di Hausdorff dimensione Hausdorff insieme di Cantor Box-counting insiemi autosimilari metodo del potenziale teorico
Data di discussione della Tesi
29 Marzo 2019
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