Connessioni su fibrati e teorie di gauge

In questa tesi si esaminano le connessioni sui fibrati principali, con lo scopo di spiegare come queste siano collegate alle teorie di gauge. Prima di definire le connessioni si costruiscono tutte le strutture necessarie. In particolare, si introducono e analizzano numerosi concetti di geometria differenziale, come le varietà, i vettori tangenti e le forme differenziali, per poi definire e approfondire i gruppi di Lie e le algebre di Lie e, successivamente, i fibrati, i fibrati vettoriali e i fibrati principali. A questo punto si definiscono le connessioni sui fibrati principali e svariate strutture matematiche, tra le quali la 1-forma di connessione, il trasporto parallelo, la derivata covariante e la 2-forma di curvatura, utili per caratterizzarle e studiarle. Si esamina anche come alcune di queste, prima fra tutte la derivata covariante, possano essere estese ai fibrati vettoriali. Infine, si mostra come le teorie di gauge siano l'interpretazione fisica delle connessioni sui fibrati, indagando le relazioni tra le entità geometriche definite e le variabili fisiche che descrivono tali teorie.