Integrali di tipo Stieltjes

L'argomento affrontato in questa tesi di Laurea riguarda gli integrali di tipo Stieltjes, che sono particolari tipi di integrali che estendono il concetto di integrale di Riemann e il concetto di integrale di Lebesgue. Tali integrali si suddividono in Stieltjes (S), Riemann-Stieltjes (RS), Darboux-Stieltjes (DS) e Lebesgue-Stieltjes (LS). I primi tre integrali sono caratterizzati dalla presenza di una funzione integranda ed una funzione integratrice; in particolare, gli integrali di tipo DS vengono definiti per funzioni integratrici crescenti. Si studierà in questo testo una particolare classe di funzioni integratrici, che sono le funzioni a variazione limitata, le quali si vedrà essere funzioni particolarmente buone per studiare gli integrali di tipo RS, in quanto esse possono essere sempre scritte come differenza di funzioni crescenti, e quindi, sfruttando, come si avrà modo di vedere, la linearità degli integrali di RS rispetto alla funzione integratrice e la condizione di Riemann, molti risultati che valgono per RS potranno essere verificati nel senso di DS (si vedrà come ogni integrale di S è anche un integrale di RS, ma non vale il viceversa, mentre, quando la funzione integratrice è crescente, l'integrale di RS e quello di DS sono equivalenti). Per quanto riguarda lo studio dell'integrale di LS, esso si costruisce sfruttando strumenti di Teoria della Misura e, per mezzo del Primo Teorema di Estensione alla Carathéodory e del Teorema di Estensione di Hahn Kolmogorov, ottenendo da funzioni monotone crescenti e continue da destra, particolari misure chiamate misure di Lebesgue-Stieltjes. L'integrale di LS verrà poi esteso ad un'integrazione rispetto a misure con segno, partendo da funzioni a variazione limitata e continue da destra. Verrà inoltre fatto un confronto critico fra i quattro integrali studiati (e anche con l'integrale di Riemann).