Teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti su spazi di Hilbert

Lo scopo di questa tesi è spiegare la teoria spettrale per gli operatori compatti e autoaggiunti negli spazi di Hilbert, mostrando come la diagonalizzazione si possa usare anche in dimensione infinita. Il primo capitolo descrive la struttura degli spazi di Hilbert, introducendo concetti base come il Teorema delle Proiezioni Ortogonali e le basi hilbertiane. Successivamente, si analizzano gli operatori lineari, concentrandosi in particolare su quelli compatti, per poi presentare la Teoria di Fredholm e il Teorema di Schauder. L'ultima parte è dedicata all'analisi spettrale. Dopo aver verificato che per gli operatori autoaggiunti gli autovalori sono reali, si arriva al risultato centrale: il Teorema Spettrale di Hilbert-Schmidt. Questo teorema dimostra infatti che esiste una base ortonormale di autovettori capace di diagonalizzare l'operatore.