The Mori and Sarkisov programs in birational geometry: structure and applications to classical results

In questo elaborato si introduce la teoria del programma di Mori, o programma del modello minimale, partendo dalla classificazione delle superfici lisce. Si trattano in primo luogo i risultati classici come il criterio di contrazione di Castelnuovo, la fattorizzazione di mappe birazionali tra superfici proiettive lisce e i risultati legati alle superfici rigate minimali. Successivamente rivisitiamo i risultati per superfici nel contesto della geometria birazionale di alta dimensione, tra cui il teorema del cono di Mori e il teorema di contrazione. Il programma di Sarkisov tra gli spazi fibrati di Mori estende invece i risultati legati alla fattorizzazione tra superfici lisce minimali. L'elaborato si sviluppa nei casi di varietà di dimensione maggiore riprendendo i risultati noti, menzionando i problemi ancora aperti ed altri risolti recentemente. Infine, l’elaborato si concentra su alcuni risultati già noti, ma ancora di grande interesse: i generatori del gruppo delle birazionalità del piano proiettivo e la super-rigidità birazionale dell’ipersuperficie di grado 4 contenuta nello spazio proiettivo di dimensione 4. Concludiamo presentando questi risultati con il linguaggio del programma di Sarkisov.