Catene di Markov

In questa tesi vengono introdotti i concetti fondamentali relativi alle catene di Markov e se ne studia il comportamento attraverso simulazioni numeriche. Il lavoro è organizzato in due capitoli teorici e due dedicati all’analisi sperimentale. Inizialmente vengono definiti alcuni dei concetti principali appartenenti alla teoria della probabilità, in particolare quelli legati alle variabili aleatorie discrete. Il secondo capitolo è invece dedicato interamente alle catene di Markov; dopo la definizione, vengono introdotti concetti chiave come stati, probabilità di transizione e matrice di transizione. Vengono successivamente introdotte alcune proprietà rilevanti, tra cui la distribuzione stazionaria, che descrive la probabilità di permanenza a lungo termine in ciascuno stato, e il comportamento asintotico, che permette di comprendere l’evoluzione della catena nel tempo e il raggiungimento di un equilibrio. I capitoli sperimentali fanno uso di simulazioni numeriche per analizzare alcune proprietà delle catene di Markov. Usando il linguaggio di programmazione Python sono state generate passeggiate aleatorie, con l’obiettivo di simulare il comportamento dei processi di Markov. In particolare, è stato possibile osservare l’evoluzione del sistema nel tempo. Sono state considerate classi di grafi generati casualmente, corrispondenti a differenti configurazioni dello spazio degli stati. Tali grafi permettono di studiare l’effetto della struttura della rete sulle proprietà delle catene di Markov.