The Hilbert Transform on Lipschitz curves

La presente tesi analizza la limitatezza L^2 della Trasformata di Hilbert, prima sulla retta reale e successivamente su curve Lipschitziane nel piano complesso, parametrizzate come grafico di una funzione di variabile reale. Nel primo capitolo vengono richiamati i concetti fondamentali riguardanti la classe delle funzioni di Schwartz e le distribuzioni temperate; vengono mostrati i principali risultati di regolarità per l'operatore e ne viene fornita una rappresentazione per mezzo della trasformata di Fourier. Viene inoltre illustrato il legame con l'integrale di Cauchy sul semipiano superiore del piano complesso. Nel secondo capitolo vengono trattati alcuni concetti base della teoria degli operatori che permettono di sviluppare il formalismo necessario per stimare la limitatezza, nello spazio delle funzioni a quadrato sommabile, di alcuni operatori integrali ausiliari definiti tramite commutatori. Nel terzo capitolo, i risultati del secondo vengono applicati allo studio della limitatezza di nuovi operatori integrali. Questi permettono una rappresentazione della Trasformata di Hilbert sulla curva, la cui regolarità può essere analizzata mediante i risultati ottenuti in precedenza.