Il Teorema di Arnol'd-Liouville sui sistemi hamiltoniani integrabili

Questo elaborato di tesi dimostra il teorema di Arnol'd-Liouville, il quale introdusse le condizioni affinché un sistema hamiltoniano sia integrabile. Vengono presentati inizialmente i concetti legati alla meccanica hamiltoniana, con un focus sulle trasformazioni strettamente canoniche e in particolare alle variabili di azione-angolo. Queste, infatti, saranno menzionate nell'enunciato del teorema ed hanno un ruolo centrale nella definizione di sistema hamiltoniano integrabile secondo Liouville. Date quindi n funzioni regolari a due a due in involuzione e indipendenti su una curva di livello, si mostra che questa è una n-varietà differenziabile invariante per i flussi hamiltoniani. Sotto ipotesi di connessione e compattezza si dimostra esistere un diffeomorfismo tra la curva di livello e un toro n-dimensionale. Inoltre, su un intorno tubolare di essa, esistono coordinate canoniche di azione-angolo. Infine, si osservano due categorie di esempi tali per cui valgono le ipotesi del teorema dunque esiste una trasformazione canonica di variabili (azione-angolo) dove la nuova hamiltoniana dipende dalle sole azioni, garantendo l'integrabilità del sistema.