Isometrie e gruppi di Coxeter

Lo scopo di questa tesi è studiare i gruppi di Coxeter. Nel primo capitolo vengono introdotte le isometrie degli spazi euclidei, analizzandone le principali proprietà. Il secondo capitolo è dedicato alla classificazione delle isometrie in dimensione 2 e 3 e allo studio dei gruppi di simmetria di poligoni e di poliedri regolari. Si classificano inoltre i sottogruppi del gruppo delle isometrie in dimensione 3. Nel terzo capitolo vengono introdotti i gruppi di Coxeter, prima dal punto di vista geometrico e poi da quello algebrico. Attraverso la nozione di sistema di radici vengono descritti i gruppi finiti di riflessioni e si individuano insiemi minimali di generatori tramite le radici semplici. Successivamente vengono analizzate la funzione lunghezza, le espressioni ridotte, i sottogruppi parabolici e il polinomio di Poincaré, che permettono di comprendere la struttura interna di un gruppo di Coxeter. Infine, vengono classificati i gruppi finiti di riflessioni tramite i grafi di Coxeter.