Catene di Markov discrete e passeggiata aleatoria

Questo elaborato presenta la teoria matematica delle catene di Markov discrete omogenee (C.M.O.), processi stocastici a tempi e spazi discreti. Si chiamano così perché il valore futuro del processo non dipende dalla storia passata ma solo dal presente (proprietà di Markov) e perché la probabilità di transizione da uno stato all’altro è indipendente dal tempo in cui viene effettuata (proprietà di omogeneità temporale). Queste catene vengono usate per rappresentare l’evoluzione temporale di un fenomeno aleatorio; ad esempio, la passeggiata aleatoria è una C.M.O. che formalizza l’idea di compiere passi successivi in direzioni casuali. Questo esempio verrà riproposto in tutta la trattazione della tesi, in particolare nel suo caso uno-dimensionale, ovvero quando lo spazio in cui ci si muove ha dimensione uno. Per studiare le catene di Markov omogenee, vengono definite le nozioni basilari di matrice di transizione e spazio degli stati; successivamente, attraverso le probabilità di transizione e di primo ritorno in uno stato, vengono introdotte diverse proprietà degli stati, come la loro suddivisione in classi di comunicazione, il periodo, la ricorrenza (positiva e nulla) e la transienza. In particolare, attraverso le funzioni generatrici, si trova un criterio per la ricorrenza che dimostra che la passeggiata aleatoria simmetrica è ricorrente in dimensioni uno e due, mentre è transiente in dimensione tre. Ci si avvale poi delle nozioni di misura invariante e distribuzione stazionaria per individuare, nel caso particolare di catene irriducibili, un criterio per la ricorrenza positiva; questo criterio dimostra che la passeggiata aleatoria simmetrica uno-dimensionale è ricorrente nulla. In ultimo si tratta il caso specifico delle catene ergodiche: si enuncia il teorema ergodico, un risultato che dà informazioni sul comportamento asintotico delle probabilità di transizione in queste catene e che permette di mostrare che la loro distribuzione limite è quella stazionaria.