Le Misure di Hausdorff e la Formula dell'Area

Lo spunto di questo lavoro nasce dal fenomeno noto come Lanterna di Schwarz, un esempio classico che mette in evidenza i limiti dell’approccio elementare alla definizione di area delle superfici tramite approssimazioni poliedrali. Tale costruzione mostra infatti come l’area delle superfici inscritte possa divergere anche quando la discretizzazione viene raffinata, indicando la necessità di una nozione più robusta di area. Questa esigenza si colloca nel contesto dei profondi sviluppi dell’Analisi del primo Novecento, dalla teoria della misura di Lebesgue alla successiva introduzione delle misure di Hausdorff, che permettono di estendere coerentemente le nozioni di lunghezza, area e volume a insiemi privi di regolarità geometrica. Nel primo capitolo vengono richiamati i concetti fondamentali della teoria della misura e la costruzione della misura di Lebesgue, mentre il secondo capitolo è dedicato alla costruzione e alle proprietà principali della misura di Hausdorff. Il terzo capitolo sviluppa la Formula dell’Area per insiemi p-parametrizzabili, mostrando come la misura p-dimensionale delle immagini di mappe regolari possa essere espressa tramite il fattore jacobiano della parametrizzazione. Il lavoro si conclude dando un cenno alla Formula di Coarea, che completa il quadro concettuale fornendo una descrizione integrale delle fibre inverse di una mappa Lipschitziana.