Funzioni simmetriche, coefficienti di Littlewood-Richardson e rappresentazioni del gruppo simmetrico

La teoria delle funzioni simmetriche, date le sue innumerevoli applicazioni in combinatoria, teoria dei gruppi e geometria algebrica, riveste un ruolo centrale nella matematica moderna. La strada nello studio di questo argomento fu aperta nel XVII secolo da I.Newton, il quale, nel suo articolo del 1666, mise in relazione due particolari basi per lo spazio vettoriale delle funzioni simmetriche: le somme di potenze e le funzioni simmetriche elementari. Tuttavia, il matematico inglese non si occupò di quella che è sicuramente la base principale per lo spazio vettoriale delle funzioni simmetriche, ossia le funzioni di Schur. I primi ad accorgersi della loro importanza furono C.Jacobi e N.Trudi, i quali, tra il 1841 e il 1866, svilupparono alcuni risultati fondamentali in tale ambito, tra cui la celebre identità di Jacobi-Trudi. Il punto di svolta arrivò nel XX secolo, quando, in due articoli del 1911 e del 1927, I.Schur studiò sistematicamente le funzioni di Schur nel contesto della teoria delle rappresentazioni di gruppo. Infine, nel 1934, D.Littlewood e A.Richardson pubblicarono la famosa regola di L-R, la quale descrive gli omonimi coefficienti dell’espansione del prodotto di due funzioni di Schur in combinazione lineare di funzioni di Schur. L’obiettivo principale di questa tesi è proprio quello di approfondire i concetti fondamentali nello studio delle funzioni simmetriche, per arrivare a una dimostrazione combinatoria della regola di L-R, attribuibile a M.Schützenberger, basata sulla caratterizzazione delle funzioni di Schur in termini di funzioni quasi-simmetriche elementari. Nell’ultimo capitolo verrà inoltre illustrato il legame tra le funzioni simmetriche di Schur e i caratteri delle rappresentazioni del gruppo simmetrico, il quale permetterà di interpretare i coefficienti di L-R come la molteplicità delle rappresentazioni irriducibili che compaiono nella decomposizione completa del prodotto tensoriale di due rappresentazioni irriducibili.