Serie di Fourier e fenomeno di Gibbs

Il primo capitolo tratta le basi teoriche delle serie di Fourier: vengono introdotti i polinomi trigonometrici, i coefficienti di Fourier, il nucleo di Dirichlet e la sua rappresentazione integrale. Si studiano poi i principali risultati di convergenza: lemma di Riemann–Lebesgue, principio di localizzazione di Riemann e i criteri di Dini, Jordan e Hölder per la convergenza puntuale. Seguono la convergenza in media quadratica (disuguaglianza di Bessel, teorema di Riesz, identità di Parseval) e la convergenza uniforme per funzioni continue a tratti o assolutamente continue. Il secondo capitolo analizza il fenomeno di Gibbs: dopo aver introdotto la funzione seno integrale e la costante di Gibbs, si studiano esempi come l’onda quadra e l’onda semitriangolare. Si mostra come le somme parziali di Fourier presentino oscillazioni vicino ai punti di discontinuità, la cui ampiezza dipende dal salto della funzione. Il risultato viene poi generalizzato a funzioni con discontinuità di prima specie. Il terzo capitolo introduce la convergenza secondo Cesàro come metodo per migliorare l’approssimazione delle serie di Fourier. Si definiscono i polinomi e il nucleo di Fejér, confrontandoli con il nucleo di Dirichlet. Viene dimostrato il teorema di Fejér, che garantisce la convergenza uniforme per funzioni continue, e si mostra graficamente come tale metodo attenui le oscillazioni tipiche del fenomeno di Gibbs.