Il problema agli autovalori del laplaciano e la sua approssimazione con il metodo degli elementi finiti

Il presente lavoro affronta lo studio del problema agli autovalori del laplaciano e della sua approssimazione numerica mediante il metodo degli elementi finiti (FEM). Dopo aver introdotto il quadro teorico degli operatori compatti e dei problemi agli autovalori in spazi di Hilbert, si analizzano i principali risultati della teoria spettrale e le condizioni che garantiscono convergenza e stabilità delle approssimazioni. Nella parte centrale, viene trattato in dettaglio il problema agli autovalori di Laplace in una dimensione, sviluppato sia nella formulazione debole classica sia nella formulazione mista negli schemi P1-P0, P1-P1, P2-P0. Vengono discusse le proprietà di convergenza degli autovalori e delle autofunzioni, con il supporto della teoria di Babuška-Osborn. Segue una sezione dedicata ai metodi numerici per la risoluzione dei problemi agli autovalori generalizzati. I risultati numerici ottenuti confermano la validità teorica delle stime, mostrando un’ottima approssimazione degli autovalori e la corretta ricostruzione delle autofunzioni anche per ordini elevati. In conclusione, la tesi evidenzia come il FEM rappresenti uno strumento efficace e versatile per lo studio di problemi spettrali legati al laplaciano, ponendo le basi per futuri sviluppi in dimensioni superiori e in contesti applicativi più complessi.