On the indecomposable representations of quivers, root systems and invariant theory

In questa tesi studieremo le rappresentazioni indecomponibili di quiver, con l'obiettivo di fornire informazioni sulla varietà algebrica che parametrizza le classi di isomorfismo di rappresentazioni indecomponibili con un vettore dimensione fissato. Le quiver e le loro rappresentazioni sono un interessante oggetto di studio in matematica, e la teoria delle rappresentazioni delle quiver è strettamente correlata alla teoria delle rappresentazioni di algebre finito dimensionali, su un campo algebricamente chiuso. L'obiettivo principale di questa tesi è fornire una dimostrazione del teorema di Kac, originariamente dimostrato nel 1980 da Victor Kac. In particolare, questa tesi è suddivisa in quattro parti. Nel primo capitolo presenteremo quelli che sono i concetti introduttivi necessari per la dimostrazione del teorema, andando a richiamare alcuni concetti di teoria delle rappresentazioni delle quiver, come il teorema di Gabriel, del quale il teorema di Kac ne costituisce una generalizzazione. Nel secondo capitolo introdurremo le algebre di Kac-Moody e studieremo alcune loro proprietà, soffermandoci in particolare sul loro sistema di radici, e fornendo una caratterizzazione delle radici in termini di una forma bilineare, detta forma bilineare invariante. Nel terzo capitolo analizzeremo la connessione tra l'Invariant Theory e lo studio delle classi di isomorfismo di rappresentazioni indecomponibili di una quiver. Nel quarto ed ultimo capitolo di questa tesi forniremo una dimostrazione del teorema di Kac. Più precisamente, dimostreremo dapprima che il numero di rappresentazioni indecomponibili su un campo finito di una quiver, dipende solamente dal grafo soggiacente; successivamente dimostreremo che il numero di rappresentazioni assolutamente indecomponibili definite su un campo finito sia indipendente dall'orientazione, e infine, dedurremo come corollario il teorema di Kac sulle rappresentazioni indecomponibili di una quiver su un campo algebricamente chiuso.