IL METODO MONTE CARLO PER CATENE DI MARKOV: un viaggio tra matematica e storia

I metodi Monte Carlo rappresentano uno degli strumenti fondamentali della matematica applicata. Formalizzati  durante la metà del Novecento, questi metodi hanno permesso di affrontare problemi numerici complessi, trovando ampio utilizzo in campi applicativi diversi. Le tecniche Monte Carlo si basano sull’assunzione di poter campionare in modo indipendente da distribuzioni di probabilità note. Si tratta di un’ipotesi spesso difficile nei problemi reali: in molti contesti le distribuzioni di interesse sono note solo a meno di una costante di normalizzazione o presentano strutture troppo complesse per permettere un campionamento diretto. Per superare questi limiti, è stata sviluppata una nuova classe di metodi, noti come metodi Monte Carlo applicati alle catene di Markov (MCMC), che permettono di generare campioni da distribuzioni difficili da trattare analiticamente, sfruttando le proprietà specifiche delle catene di Markov. Questa tesi si propone di ripercorrere il percorso storico e teorico dei metodi Monte Carlo dalla formulazione classica iniziale allo sviluppo degli algoritmi MCMC, mettendo in evidenza il ruolo centrale delle catene di Markov. Oltre alla motivazione storica, verranno analizzati gli aspetti matematici fondamentali che rendono possibile l’uso delle catene di Markov nei metodi MCMC. La tesi è articolata in tre capitoli principali. Nel primo capitolo si presenta una panoramica storica dei metodi Monte Carlo con un focus sugli aspetti matematici riguardo ai due metodi principali ovvero il metodo di inversione e quello di accettazione-rifiuto. Il secondo capitolo è dedicato alla teoria delle catene di Markov, interpretato come strumento chiave nella costruzione degli algoritmi MCMC. Infine, il terzo capitolo è dedicato ai metodi MCMC veri e propri, partendo dall’algoritmo di Metropolis e analizzando poi le modifiche di Hasting e del campionamento di Gibbs. La tesi si conclude infine con una panoramica sulle applicazioni più recenti di questi metodi.