Insiemi di Besicovitch e Problema di Kakeya

La tesi esplora gli insiemi di Besicovitch e di Kakeya, oggetti geometrici “patologici” della teoria della misura e dell’analisi armonica. Nel primo capitolo vengono richiamati i concetti fondamentali della misura e della dimensione di Hausdorff, fornendo strumenti matematici per poter studiare le proprietà dei sottoinsiemi di Rⁿ. Il secondo capitolo presenta la costruzione di un insieme di Besicovitch B ⊆ R², seguendo il metodo di Besicovitch e la semplificazione di Perron tramite l’Albero di Perron. Si dimostra che tali insiemi, pur avendo misura nulla, possiedono dimensione di Hausdorff uguale a 2. Nel terzo capitolo si definiscono gli insiemi di Kakeya, ovvero insiemi contenenti un segmento unitario la cui orientazione può essere invertita usando spostamenti continui e rimanendo all'interno dell'insieme stesso. Si dimostra che è possibile costruire un tale insieme in modo che abbia area arbitrariamente piccola, risolvendo così il Problema di Kakeya. Infine, l’appendice approfondisce la distanza di Hausdorff e le proprietà dello spazio dei sottoinsiemi compatti e convessi in Rⁿ, strumenti essenziali per la formalizzazione dei risultati.