Geodetiche in varietà sub-Riemanniane

Questa tesi affronta lo studio delle geodetiche in strutture sub-Riemanniane. Queste strutture sono una generalizzazinoe della geometria Riemanniana, in cui metrica è definita solo su un sottofibrato del fibrato tangente, detto distribuzione. Le curve ammissibili sono quelle orizzontali, i cui vettori tangenti giacciono nella distribuzione, e la loro lunghezza è definita in modo analogo al caso Riemanniano in termini della metrica. Le geodetiche sub-Riemanniane vengono quindi individuate come le curve orizzontali che minimizzano il funzionale lunghezza e realizzano la distanza tra due punti della varietà. Il teorema di Chow, garantisce una condizione sufficiente per la connessione per archi orizzontali, e quindi la buona posizione del problema di esistenza delle geodetiche. Tali curve vengono poi presentate come soluzioni di un sistema hamiltoniano, sfruttando principi di meccanica lagrangiana e calcolo variazionale. Nell’ultima parte viene analizzato un caso esplicito di particolare rilievo: il gruppo di Heisenberg con struttura sub-Riemanniana sullo spazio reale tridimensionale. In questo caso specifico le geodetiche, calcolate esplicitamente a partire dall'Hamiltoniana, assumono una chiara interpretazione geometrica come sollevamenti di archi di circonferenza nel piano.