Dall'analisi funzionale alle equazioni differenziali: i Teoremi di Lax-Milgram e Stampacchia

La tesi si occupa di due teoremi di analisi funzionale, il Teorema di Lax-Milgram ed il Teorema di Stampacchia e di alcune loro applicazioni nell’ambito delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Nel primo capitolo vengono illustrati alcuni risultati preliminari sugli spazi di Hilbert, necessari per introdurre e dimostrare i due teoremi centrali dell’elaborato; in particolare vengono enunciati il Teorema della Proiezione ed il Teorema di rappresentazione di Riesz-Fréchet. Nel secondo capitolo sono illustrati Il Teorema di Stampacchia ed il Teorema di Lax-Milgram. Nel terzo capitolo vengono analizzate alcune applicazioni di questi ultimi due teoremi: si parte dal caso più semplice, l’equazione di Poisson, fino a trattare del caso più generale di operatore ellittico del secondo ordine. Le applicazioni vengono trattate tramite un approccio variazionale. Infine, in appendice, si trova un approfondimento riguardante un controesempio all’esistenza e alla regolarità di soluzione di equazioni ellittiche.