Misura di Hausdorff e la Formula dell'Area

Il risultato principale di questa tesi è la Formula dell'Area che nasce con l'obiettivo di generalizzare il classico teorema di analisi di cambiamento di variabile nell'integrale di Lebesgue in R^N. Per arrivare a tale generalizzazione vengono introdotti alcuni strumenti preliminari. La prima parte della tesi è dedicata al richiamo di concetti di misura e di integrazione astratta, mentre nel secondo capitolo si passa all'introduzione della misura di Hausdorff. Dopo averla definita vengono discusse le proprietà fondamentali tra cui la regolarità e l'equivalenza tra la misura di Hausdorff N-dimensionale e la misura di Lebesgue, risultato che mostra come la misura di Hausdorff conservi le proprietà essenziali della misura di Lebesgue in R^N. La tesi si sviluppa successivamente analizzando il comportamento delle funzioni lipschitziane rispetto alla misura di Hausdorff, studiando quest'ultima rispetto ad insiemi piatti e definendo la dimensione di Hausdorff. Nel terzo capitolo si giunge allo scopo della tesi; dopo aver definito gli insiemi p-parametrizzabili viene enunciata la Formula dell'Area la quale estende il teorema iniziale proprio a questi insiemi. Essa permette di calcolare in modo preciso la misura di Hausdorff di insieme p-piatti riducendosi alla formulazione classica nel caso p=N. Per arrivare alla dimostrazione del teorema vengono utilizzati poi diversi lemmi che ne rendono più chiara la spiegazione. Infine per valorizzare il risultato ottenuto vengono studiati diversi esempi e applicazioni come il calcolo della misura unidimensionale associata a curve regolari semplici oppure il calcolo dell'area di superfici in R^3. Dunque, abbiamo raggiunto l'obiettivo della tesi ovvero l'enunciazione e la dimostrazione della Formula dell'Area.