Il Teorema di Rademacher

Nella tesi studieremo il Teorema di Rademacher, un importante risultato di analisi che lega le funzioni lipschitziane alla differenziabilità quasi ovunque. Nel primo capitolo introdurremo il concetto di misura e funzione misurabile, per poi concentrarci su due misure specifiche ossia la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff. Tratteremo poi l'integrale di Lebesgue e due teoremi fondamentali in questa teoria che sono il Teorema della convergenza dominata di Lebesgue e il Teorema di Fubini. Per concludere il primo capitolo, parleremo della classe delle funzioni assolutamente continue e vedremo la validità del Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue come caratterizzazione di questa classe di funzioni. Nel secondo capitolo inizieremo con lo studio delle funzioni lipschitziane e mostreremo che esse sono assolutamente continue; proveremo poi un importante teorema di estensione per le funzioni lipschitziane. Dopo aver introdotto la nozione di differenziabilità e alcune sue proprietà, saremo pronti per enunciare e dimostrare il Teorema di Rademacher. Infine, nel terzo capitolo presenteremo un’estensione del Teorema di Rademacher alle funzioni convesse, dimostrando che queste ultime risultano localmente lipschitziane.