L'algebra di Möbius

L’algebra di Möbius è uno strumento sviluppato nell’ambito della matematica discreta, con importanti applicazioni in combinatoria e allo studio degli insiemi parzialmente ordinati. In questa tesi consideriamo particolari poset dotati di join e meet, che sono rispettivamente il minimo dei maggioranti e il massimo dei minoranti. Tali poset sono chiamati reticoli. Andremo ad associare ad ogni reticolo L un'algebra A(L) generata dai suoi elementi e con prodotto indotto dal join. Mostreremo identità all'interno dell'algebra A(L) e analizzando il coefficiente di un particolare elemento ricaveremo identità notevoli, quali il Teorema Cross-Cut, enunciato da Rota nel 1964, e il Teorema di Weisner, dimostrato dal matematico americano Louis Weisner nel 1935. Inoltre utilizzeremo questi risultati per studiare alcune particolari classi di reticoli, come i reticoli geometrici e quelli supersolubili.