Spazi di Sobolev e Disuguaglianze Variazionali

Questa tesi affronta alcuni temi classici dell’analisi matematica, con particolare attenzione alle funzioni armoniche, agli spazi di Sobolev dedicando uno sguardo finale al problema dell’ostacolo. Nella prima parte vengono introdotte le proprietà fondamentali delle funzioni armoniche: si dimostrano la proprietà media, il principio del massimo e ulteriori risultati ottenuti tramite formule di rappresentazione integrale. La seconda parte è dedicata agli spazi di Sobolev: dopo un’introduzione agli spazi di Lebesgue si trattano le derivate deboli e si studiano le proprietà di regolarizzazione dei mollificatori. Vengono quindi presentati alcuni risultati di base e il teorema di immersione di Sobolev. Infine, nell’ultima parte, si accenna al problema dell’ostacolo, la cui analisi si fonda sul teorema di Stampacchia.