Proprietà spettrali di matrici casuali con applicazioni al machine learning

Il calcolo della densità spettrale media di matrici casuali appartenenti a un determinato ensemble statistico rappresenta un problema centrale nella Teoria delle Matrici Casuali (RTM), un ambito della matematica con profonde connessioni con la fisica teorica e numerose applicazioni interdisciplinari. La RTM si occupa infatti dello studio delle proprietà statistiche degli autovalori e degli autovettori di matrici i cui elementi sono estratti secondo specifiche distribuzioni di probabilità, con l'obbietivo di caratterizzare comportamenti collettivi che emergono in sistemi complessi. In questa tesi ci concentriamo sul problema della densità spettrale media per ensembles di matrici sparse simmetriche casuali. Dopo aver introdotto le basi teoriche, partiamo dalla formula di Edwards-Jones e analizziamo due approcci: il metodo delle cavità e il metodo delle repliche. Nonostante le differenze concettuali e tecniche, entrambi i metodo portano agli stessi risulatti in merito nalla densità spettrale dei grafi, consentendo di recuperare la celebre legge del semicerchio di Wigner. Infine, discutiamo un'importante applicazione della teoria delle matrici casuali nell'ambito del machine learning, mostrando come gli strumenti sviluppati in questo contesto possano fornire nuove prospettive nell'analisi di modelli complessi e nell'interpretazione delle proprietà statistiche e delle reti neurali.