Alcune nozioni sulla Gamma-convergenza e applicazioni

In questa tesi si esaminano la definizone di della Gamma-convergenza e alcune sue fondamentali proprietà. Questo tipo di convergenza variazionale risulta utile, ad esempio, a studiare problemi di minimo. Nel primo capitolo, vengono riportati alcuni concetti base del Calcolo delle Variazioni (metodi diretti): si rivedono le principali proprietà della nozione di funzione inferiormente semicontinua e di funzione coerciva e l'enunciato di un teorema di tipo Weierstrass generalizzato. Nel secondo capitolo si introduce il concetto di funzionale rilassato di un dato funzionale (in alcuni casi il rilassamento può essere visto come un caso speciale di Gamma-convergenza). Nel terzo capitolo, viene esaminata a fondo la definizione di Gamma-convergenza nell'ambito molto generale degli spazi topologici. Si evidenziano le principali differenze con la convergenza puntuale, fornendo alcuni esempi sulla retta reale, la stabilità sotto perturbazioni continue e infine come si possa caratterizzare in casi in cui lo spazio su cui si sta operando abbia certe proprietà aggiuntive (ad esempio nel caso degli spazi metrici). Ci occupiamo poi di analizzare risultati che riguardano la convergenza dei minimi e dei punti di minimo. Nel quarto capitolo mostriamo due possibili applicazioni legate alla Gamma-convergenza: forniamo una dimostrazione alternativa del teorema di moltiplicatori di Lagrange e anche una piccola applicazione legata alla teoria dell’omogeneizzazione.