Introduzione alla meccanica analitica su varietà

La meccanica analitica fa ampiamene uso degli strumenti sviluppati dalla matematica e questa tesi consiste in una introduzione al formalismo lagrangiano e hamiltoniano con un occhio di riguardo verso gli strumenti della geometria differenziale. Il moto di un sistema dinamico lagrangiano avviene su una varietà, lo spazio delle configurazioni. Tuttavia, il formalismo lagrangiano prende luogo sullo spazio delle velocità che è il fibrato tangente dello spazio delle configurazioni. Riportando le equazioni di Eulero-Lagrange sullo spazio delle velocità le equazioni del moto raddoppiano e in modo naturale è possibile cambiare punto di vista. Dallo spazio delle velocità passiamo allo spazio delle fasi mediante la trasformata di Legendre e il moto del sistema è descritto dalle equazioni di Hamilton. Le equazioni di Hamilton rendono manifesta la geometria simplettica dello spazio delle fasi. Mediante la geometria simplettica si definisce il campo vettoriale hamiltoniano associato alla funzione di Hamilton il cui flusso descrive il moto del sistema. Riportando il sistema hamiltoniano sullo spazio delle velocità si arricchisce quest'ultimo di struttura di varietà simplettica. Il sistema dinamico ottenuto è esattamente il sistema lagrangiano iniziale. Nell'ottica di definire oggetti fisici in modo geometrico e indipendente dalle coordinate si è deciso di prendere in esame la relatività ristretta. Viene introdotto lo spaziotempo di Minkowski e il concetto di covarianza delle leggi fisiche. Come esempio di sistema dinamico lagrangiano viene riportato il caso di una particella relativistica immersa in un campo elettromagnetico.