Studio delle funzioni generatrici per le permutazioni di tipo A e B mediante i cammini di Motzkin

In questa tesi utilizziamo i cammini di Motzkin per derivare le funzioni generatrici di alcune statistiche delle permutazioni (sia standard che di tipo B). In particolare, sfruttiamo il risultato di Philippe Flajolet, il quale dimostrò che la funzione generatrice dei cammini di Motzkin pesati può essere espressa mediante una frazione continua. Procediamo analizzando le biiezioni dall'insieme delle permutazioni a quello dei cammini di Motzkin e i pesi utilizzati da Guay-Paquet e Petersen, da Biane e da Sen-Peng Eu, Tung-Shan Fu e Yuan-Hsun Lo per ricavare le funzioni generatrici associate ad alcune statistiche significative del gruppo simmetrico mediante l'applicazione del Teorema di Flajolet. Nell'ultima parte di questo elaborato, ci soffermiamo sulle permutazioni di tipo B. Studiamo la biiezione dall'insieme di queste permutazioni a quello dei cammini proposta da Corteel, Josuat-Vergès e Kim. In seguito, sfruttiamo il risultato di Bagno, Biagioli, Novick e Woo sulla caratterizzazione della depth, una statistica dei gruppi di Coxeter, per le permutazioni segnate per determinare il valore della profondità di una permutazione analizzando il cammino corrispondente. Infine, riportiamo l'espressione esplicita di alcuni coefficienti della funzione generatrice associata alla profondità.