HOSVD: analisi ed implementazione

Nell’era moderna dell’informatica e del trattamento dei dati, la decomposizione ai valori singolari e la decomposizione di Tucker con le sue diverse applicazioni rappresentano pilastri fondamentali per l’analisi e la comprensione delle strutture dati complesse. Queste rappresentazioni dei dati non solo consentono la riduzione della dimensionalità, ma anche l’osservazione delle relazioni nascoste tra le variabili, rendendole essenziali in una vasta gamma di discipline scientifiche ed applicative. Questa tesi ne esplora in profondità i principi teorici, analizzando alcune loro applicazioni pratiche. La tesi è articolata in quattro capitoli: dopo il richiamo dei concetti di algebra lineare e di statistica necessari alla comprensione degli argomenti trattati, nel primo capitolo viene spiegata la Principal Component Analysis. Si parla del concetto di analisi delle componenti principali associato al problema variazionale del quoziente di Rayleigh. Si passa poi all’interpretazione delle nuove componenti attraverso i coefficienti di correlazione. Infine, vengono discussi i diversi metodi per la scelta del numero di componenti, seguiti da una parte computazionale elaborata con MATLAB. Il secondo capitolo tratta della decomposizione ai valori singolari, o SVD. Viene presentata la sua formulazione condensata e dimostrato il teorema di esistenza, attraverso i teoremi di Rayleigh-Ritz e Courant-Fischer. Il secondo capitolo si conclude con un’applicazione della SVD. Il quarto capitolo tratta della versione tensoriale della decomposizione ai valori singolari, ovvero la decomposizione di Tucker e la sua implementazione Higher Order Singular Value Decomposition, HOSVD. Vengono elencate le diverse formulazioni della Tucker e descritte le varianti della HOSVD. Si conclude con un altro esempio applicativo che riprende quello della PCA con l’aggiunta di una terza dimensione, in cui i dati evolvono nel tempo.