Principi del Massimo per operatori ellittici e Teorema di Serrin

Il contenuto di questa tesi verte sui vari Principi del Massimo per operatori ellittici e sull’applicazione nel teorema di Serrin. Dopo aver introdotto diversi strumenti necessari, viene analizzato il principio per il Laplaciano nella versione debole e forte. Con l’obbiettivo di ottenere informazioni in più sul bordo del dominio dal Principio del massimo forte per Laplaciano, generalizziamo il Principio per operatori ellittici. Riuscendo ad estendere il Principio del massimo forte anche nei casi in cui il Laplaciano non sia nullo, tramite il lemma di Hopf otteniamo una condizione necessaria sul segno della derivata direzionale lungo la normale uscente al dominio. Nell'ultimo capitolo analizziamo il teorema di Serrin, che con il metodo dei piani mobili fornisce una condizione necessaria sul dominio di uno specifico problema di Dirichlet. Infine, nell'ultima sezione viene affrontato un approccio alternativo al teorema, proposto da Weinberger.