Trasporto ottimo: Il Teorema di Dualità di Kantorovich

L’obiettivo di questa tesi è quello di mostrare l’equivalenza tra il problema primale di Monge-Kantorovich sui piani di trasporto ottimi, e il suo corrispettivo duale. Il trasporto ottimo interessa diversi ambiti, quali teoria della probabilità, economia o ottimizzazione, e consiste nel determinare un piano che minimizzi il costo associato al trasporto di una distribuzione di massa da uno spazio di probabilità di partenza a uno di arrivo. La formulazione duale, introdotta da Kantorovich, offre una prospettiva complementare: anziché minimizzare un costo, si tratta di massimizzare una funzione di profitto sotto vincoli adeguati. A tal scopo, vengono introdotti i concetti di monotonia ciclica e c-convessità, strumenti indispensabili per introdurre il teorema di dualità di Kantorovich, che sancisce l’equivalenza dei due problemi e fornisce condizioni necessarie e sufficienti per l’ottimalità dei piani di trasporto. Nella parte finale della tesi vengono discusse alcune proprietà di stabilità e una versione ristretta del teorema, seguite da una dimostrazione rigorosa del risultato principale.