Hodge Theory for tropical fans and Log-Concavity of the Characteristic Polynomial of Matroids

L'obiettivo di questa tesi è studiare la log-concavità dei coefficienti del polinomio caratteristico di un matroide, risultato dimostrato in Hodge Theory for Combinatorial Geometries (Adiprasito–Huh–Katz). In questo lavoro, presentiamo una dimostrazione alternativa del loro teorema, utilizzando la teoria di Hodge per ventagli tropicali sviluppata in Hodge Theory for Tropical Fans (Amini–Piquerez). Nei primi due capitoli si introducono i necessari strumenti di geometria convessa e si definiscono ventagli e ventagli tropicali, con particolare attenzione all'esempio dei politopi e dei ventagli ad essi associati. Nel terzo capitolo studiamo l’anello di Chow di un ventaglio, dimostrando il Localization Lemma e introducendo le mappe di restrizione e Gysin. Il quarto capitolo si dedica alla geometria tropicale, ai divisori tropicali e alle modificazioni, culminando nel concetto chiave di T-stabilità. Nel quinto capitolo si entra nel cuore combinatorio della tesi: vengono introdotti i matroidi, il loro polinomio caratteristico e i Bergman fan, che permettono di studiarli geometricamente. Viene quindi ricostruita parte della dimostrazione della log-concavità. Infine, il sesto capitolo è dedicato alla teoria di Hodge per ventagli tropicali: si dimostra che risultati fondamentali come la dualità di Poincaré, il teorema di Hard Lefschetz e le relazioni di Hodge-Riemann valgono anche in ambito tropicale. Viene inoltre introdotto il concetto di ventaglio Chow-Kähler, e si conclude che ogni Bergman fan di un matroide possiede questa struttura, fornendo così la chiave finale per la dimostrazione della log-concavità.