L'equazione di Gross-Pitaevskii e la condensazione di Bose-Einstein

In questo elaborato si analizza la condensazione di Bose-Einstein a partire dal caso ideale, descrivendo il comportamento statistico di un gas di bosoni non interagenti nel limite di basse temperature. Viene poi introdotto il formalismo della seconda quantizzazione, strumento necessario per descrivere sistemi a molti corpi indistinguibili, come i bosoni. Si tratta la derivazione dell'equazione di Gross-Pitaevskii, con un approfondimento sulle approssimazioni volte alla sua comprensione, tra cui quella di campo medio, di gas debolmente interagenti e l'approssimazione di Bogoliubov. Infine, si analizzano le soluzioni stazionarie dell'equazione di Gross-Pitaevskii, con particolare attenzione ai vortici quantizzati. Questi sono descritti come stati eccitati del condensato con momento angolare quantizzato, la cui struttura è studiata attraverso una risoluzione numerica dell'equazione. Il lavoro conferma l'efficacia dell'equazione di Gross-Pitaevskii come strumento teorico per lo studio delle proprietà macroscopiche dei condensati di Bose-Einstein in presenza di interazioni repulsive.