L’Assoluta Continuità e la Derivazione per Funzioni Reali

Questa tesi si concentra sullo studio delle funzioni assolutamente continue a valori reali, esaminandone le proprietà e la loro relazione con la derivazione. Si parte dall’analisi delle funzioni monotone e del Teorema di Lebesgue, che stabilisce l’esistenza della loro derivata quasi ovunque. Dopo un richiamo sulle funzioni a variazione limitata, viene introdotto il concetto di assoluta continuità e viene dimostrato che se una funzione è AC allora è a variazione limitata. Verranno poi dimostrati due teoremi di caratterizzazione. In particolare il primo è importante in quanto dimostra la validità del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per funzioni AC. A seguire si esplora la connessione con la derivata debole. Infine, viene introdotta la proprietà di Luzin in relazione con le funzioni AC e viene dimostrato il Teorema di Banach-Zarecki che dà 3 ipotesi non rimovibili ai fini di avere l’assoluta continuità di una funzione.