Una variante fine del Teorema Fondamentale del Calcolo

In questo elaborato ci proponiamo di analizzare una versione leggermente diversa del Teorema Fondamentale del Calcolo utilizzando l’integrale di Lebesgue. La tesi di articola in quattro capitoli. Nel primo mostriamo un quadro storico della nascita e sviluppo del teorema, partendo dalle motivazioni e necessità che hanno dato origine allo studio del calcolo integrale nell’Antica Grecia arrivando fino ai matematici che durante vari secoli hanno contribuito alla sua dimostrazione. Inoltre, nomineremo anche altre versioni del teorema con anche nuovi tipi di integrale. Nel secondo capitolo introduciamo definizioni e risultati necessari per dimostrare il teorema centrale della tesi. Alcuni risultati, come quelli sull'integrale di Lebesgue, sono ben noti e spiegati nei corsi di analisi; altri, come le funzioni AC e ACG, sono notevoli e non si incontrano tanto spesso. Nel terzo capitolo ricaveremo la dimostrazione di entrambe le parti del Teorema Fondamentale del Calcolo con l'integrale di Lebesgue, e noteremo che, seppur con piccole modifiche, esso rimane valido. Nel quarto e ultimo capitolo sottolineiamo alcuni esempi importanti che rendono chiara la necessità di tutte le ipotesi della seconda parte del TFCI (Torricelli-Barrow).