Integrali Frazionari e Applicazioni

In questa tes si sono studiati gli operatori integrale frazionari, operatori di convoluzione con un nucleo del tipo |x|^(⍺-n), (0<⍺<n), il cui comportamento su spazi L^p è di particolare interesse. Nel primo capitolo si prova il teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev, nel caso 1≤p<n/⍺. La dimostrazione segue l’idea della prova dovuta a Hedberg: si utilizzano la disuguaglianza di Hölder e le stime per la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Si analizza inoltre il caso p=n/⍺ (la disuguaglianza di Moser-Trudinger). Nei successivi due capitoli , si considera l’operatore frazionario con nucleo di convoluzione |x|^(1-n), ottenendo disuguaglianze di tipo Sobolev e Poincaré. Si pone particolare attenzione alla prova nel caso p=1, poiché la disuguaglianza di Hardy-Littlewood-Sobolev fornisce solo una stima solo debole.