Gruppi abeliani divisibili

Questa tesi si concentra sullo studio della struttura dei gruppi divisibili. L'obiettivo dell'elaborato è dimostrare che ogni gruppo divisibile è isomorfo a una somma diretta di copie del gruppo dei razionali Q e dei gruppi di Prüfer Z(p∞), per opportuni primi p. Nel primo capitolo si introducono gli strumenti essenziali per lo studio dei gruppi divisibili, tra cui la somma diretta interna ed esterna, i sottogruppi di torsione e la decomposizione dei gruppi di torsione in componenti p-primarie. Successivamente, il secondo capitolo esplora la teoria dei gruppi liberi, il concetto di sottoinsiemi liberi e di rango senza torsione, evidenziando come questi elementi siano fondamentali per la caratterizzazione dei gruppi divisibili. Nel terzo capitolo si introduce il concetto di divisibilità e se ne dà una caratterizzazione tramite l'utilizzo delle successioni esatte di morfismi. La tesi mostra inoltre che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo divisibile, sottolineando l'importanza di questi oggetti nella teoria dei gruppi abeliani. I risultati ottenuti mettono in evidenza il ruolo centrale dei gruppi divisibili nella teoria dei gruppi abeliani e le connessioni con altre strutture algebriche.