Lemma di deformazione e teoremi di minimax

L'obiettivo di questa Tesi di Laurea è di mostrare come ottenere punti critici di funzionali tramite i cosiddetti metodi di minimax. La trattazione è suddivisa in quattro capitoli e considera funzionali di classe C^2 definiti su spazi di Hilbert separabili. Il primo capitolo contiene definizioni ed esempi che utilizziamo nell'elaborato. Il secondo capitolo è dedicato al lemma di deformazione, lo strumento che ci permette di dimostrare i teoremi di minimax che trattiamo. In particolare mostriamo, tramite esempi e controesempi, come la condizione di Palais-Smale sia un'ipotesi necessaria per la validità del lemma di deformazione. Il terzo capitolo è incentrato sui teoremi di minimax: il principio di minimax ed il teorema del passo montano. Infine, l'ultimo capitolo è dedicato ad un'applicazione dei risultati precedentemente ottenuti; mostriamo l'esistenza di una soluzione debole non banale di un'equazione alle derivate parziali ellittica. In particolare, consideriamo il Problema di Dirichlet per il Laplaciano.