Sulle rappresentazioni dei quiver di kronecker

L'obiettivo della tesi è studiare le rappresentazioni del quiver 2-Kronecker, cioè un quiver con due vertici, due lati e nessun ciclo orientato. A questo scopo la trattazione si sviluppa in quattro capitoli organizzati nel modo seguente: nel primo capitolo introduciamo gli oggetti e le definizioni e raccogliamo alcuni risultati fondamentali della teoria delle rappresentazioni delle algebre associative di dimensione finita, caratterizziamo i moduli indecomponibili attraverso l'algebra dei loro endomorfismi e introduciamo, dopo aver classificato le rappresentazioni irriducibili di un quiver Q senza cicli orientati, i funtori di riflessione e le loro proprietà. Nel secondo capitolo classifichiamo le classi di isomorfismo dei moduli indecomponibili del quiver 2-Kronecker. Nel capitolo 3 invece introduciamo la teoria di Auslander-Reiten, fondamentale nell'ambito della teoria delle rappresentazioni in quanto illustra il legame tra moduli indecomponibili, morfismi irriducibili e successioni quasi split. Dopo aver introdotto alcuni oggetti basilari di questa teoria come il radicale di due moduli, costruiremo il quiver di Auslander-Reiten del quiver 2-Kronecker. Nel quarto e ultimo capitolo mostreremo come la classificazione dei moduli indecomponibili del quiver 3-Kronecker implicherebbe la soluzione del problema di classificazione dei moduli indecomponibili di ogni quiver.