Il metodo Monte Carlo per catene di Markov

L’obiettivo principale di questa tesi è approfondire il metodo Monte Carlo basato su catene di Markov, noto come MCMC (dall'inglese Markov Chain Monte Carlo). Nel primo capitolo vengono introdotti i concetti fondamentali sulle catene di Markov, essenziali per comprendere il metodo MCMC. Tra questi, oltre le definizioni principali, abbiamo l'irriducibilità e l'aperiodicità di una catena di Markov, fino ad arrivare al concetto di distribuzione stazionaria e reversibilità di una catena. Il secondo capitolo è dedicato al teorema ergodico, un risultato chiave per la validità di questi algoritmi. La dimostrazione del teorema prenderà gran parte del secondo capitolo poiché richiede alcune considerazioni preliminari. Nel terzo capitolo, dopo una breve parentesi sui metodi di campionamento, vengono analizzati in generale gli algoritmi MCMC. Si entra poi nei dettagli degli algoritmi più noti quali quello di Metropolis-Hastings e il campionamento di Gibbs. Infine, nell'ultimo capitolo, è presentata un'applicazione pratica del metodo. Si utilizza il metodo di Metropolis-Hastings per studiare il problema del commesso viaggiatore. In particolare, si troverà il percorso migliore tra vari luoghi turistici della città di Bologna e se ne analizzeranno i risultati ottenuti.