Elementi finiti per l'equazione di Helmholtz

Questa tesi ha l'obiettivo di studiare la dinamica della pressione che è esprimibile tramite l'equazione delle onde e, sotto particolari ipotesi, determineremo la forma generale della pressione. Quello che faremo sarà supporre che la pressione si possa scrivere come prodotto di due funzioni che separano tempo e spazio, da cui deriveremo che la parte stazionaria soddisfa l'equazione di Helmholtz. Lo studio si concentrerà, quindi, sull'equazione di Helmholtz, dove studieremo un problema ai valori al bordo con condizioni miste di Dirichlet e Robin per questa equazione. Per farlo ne deriveremo la formulazione variazionale e studieremo come dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione. Una volta dimostrato che il problema ha un'unica soluzione, ci concentreremo sul definire come agisce il metodo degli elementi finiti che sarà lo strumento che useremo per approssimare numericamente la soluzione. Infine presenteremo un fenomeno che si verifica quando il numero d'onda è elevato, chiamato "pollution effect", che si manifesta come un errore di fase nella soluzione approssimata. Dopo aver fatto uno studio teorico mostreremo numericamente tutto ciò che è stato dimostrato precedentemente. Studieremo un problema specifico e approssimeremo numericamente la soluzione grazie al metodo degli elementi finiti e analizzeremo gli errori nella norma L^2 e nella seminorma H^1 e del numero di condizionamento della matrice del sistema lineare. Osserveremo, inoltre, che per numeri d'onda elevati si ha una fase di pre-asintotica convergenza, che aumenta al crescere del numero d'onda e l'errore di fase dato dal "pollution effect". Infine elencheremo delle tecniche sostitutive al metodo degli elementi finiti lineari per consentire di avere un'approssimazione migliore.