Teorema di Vitali e Lebesgue

In questo elaborato ci proponiamo di esaminare due dimostrazioni del teorema di Vitali-Lebesgue: la prima è fornita da Bruno Pini nel manuale “Primo Corso di Analisi Matematica” del 1971; la seconda è proposta da Gianni Gilardi ed è riportata nelle note di una sua lezione del 1997 alla Scuola di Perfezionamento in Didattica della Matematica. Pini utilizza la nozione di oscillazione di una funzione e sfrutta le proprietà topologiche dell’insieme dei punti di discontinuità di una funzione definita su un intervallo chiuso. Questa dimostrazione, seppur ricca di dettagli tecnici, è accessibile anche a chi non possiede una preparazione matematica di teoria della misura. Gilardi, d’altra parte, si serve di numerosi lemmi e proposizioni preliminari, talvolta dalle dimostrazioni estremamente complesse, che analizzano l’ipografico di una funzione f dal punto di vista della teoria della misura. In particolare, Gilardi pone l’attenzione sulle misure di Lebesgue e di Peano-Jordan e la stretta correlazione tra di esse, problema di per sé interessante. Una volta affrontati i risultati che la precedono, la dimostrazione del teorema di Vitali-Lebesgue data da Gilardi è, infine, di poche righe e piuttosto semplice.